(1) $y = f(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$ の $x=1$ における接線の方程式を求める。 (2) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} (\frac{1}{a} - \frac{1}{x+1})$ の極限が存在するように $a$ の値を定め、極限値を求める。 (3) 放物線 $y=ax^2+b$ が、$x=1$ において直線 $y=12x-3$ と接するとき、$a, b$ の値を求める。 (4) $f(x) = \frac{x^3 (x-3)^6}{(x+1)^4}$ に対して、$f'(1)$ を求める。 (5) $f(x) = e^{x^2}$ に対して、$f''(x)$ を求める。 (6) $f(x) = e^x$ に対して、2次までのマクローリン展開を求め、$(x=0)$ において2次式で近似した形を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $y = f(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$ の $x=1$ における接線の方程式を求める。

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} (\frac{1}{a} - \frac{1}{x+1})$ の極限が存在するように $a$ の値を定め、極限値を求める。

(3) 放物線 $y=ax^2+b$ が、$x=1$ において直線 $y=12x-3$ と接するとき、$a, b$ の値を求める。

(4) $f(x) = \frac{x^3 (x-3)^6}{(x+1)^4}$ に対して、$f'(1)$ を求める。

(5) $f(x) = e^{x^2}$ に対して、$f''(x)$ を求める。

(6) $f(x) = e^x$ に対して、2次までのマクローリン展開を求め、$(x=0)$ において2次式で近似した形を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2+2}$ より、$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+2)^2}$

$f(1) = \frac{1}{1^2+2} = \frac{1}{3}$, $f'(1) = -\frac{2 \cdot 1}{(1^2+2)^2} = -\frac{2}{9}$

接線の方程式は、$y - f(1) = f'(1)(x-1)$ より、

$y - \frac{1}{3} = -\frac{2}{9}(x-1)$

$y = -\frac{2}{9}x + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{9}x + \frac{5}{9}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} (\frac{1}{a} - \frac{1}{x+1}) = \lim_{x \to 1} \frac{x+1-a}{a(x-1)(x+1)}$

極限が存在するためには、$x \to 1$ で $x+1-a \to 0$ である必要がある。

したがって、$1+1-a=0$ より、$a=2$

このとき、$\lim_{x \to 1} \frac{x+1-2}{2(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{2(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2(x+1)} = \frac{1}{2(1+1)} = \frac{1}{4}$

(3) $y = ax^2 + b$, $y' = 2ax$

$x=1$ において、$y = 12x - 3$ と接するので、$x=1$ での傾きが等しく、値も等しい。

$y(1) = a+b$, $y'(1) = 2a$

$12(1)-3 = 9$, $12$

$a+b = 9$, $2a = 12$

$a = 6$, $6+b = 9$ より、$b = 3$

(4) $f(x) = \frac{x^3 (x-3)^6}{(x+1)^4}$

$\log f(x) = 3 \log x + 6 \log |x-3| - 4 \log |x+1|$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3}{x} + \frac{6}{x-3} - \frac{4}{x+1}$

$f'(x) = f(x) (\frac{3}{x} + \frac{6}{x-3} - \frac{4}{x+1})$

$f(1) = \frac{1^3 (1-3)^6}{(1+1)^4} = \frac{1 \cdot (-2)^6}{2^4} = \frac{64}{16} = 4$

$f'(1) = 4(\frac{3}{1} + \frac{6}{1-3} - \frac{4}{1+1}) = 4(3 - 3 - 2) = 4(-2) = -8$

(5) $f(x) = e^{x^2}$

$f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

$f''(x) = 2e^{x^2} + 2x \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = (2+4x^2)e^{x^2}$

(6) $f(x) = e^x$

$f(0) = 1$, $f'(x) = e^x$, $f'(0) = 1$, $f''(x) = e^x$, $f''(0) = 1$

マクローリン展開：$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$

$e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{2}{9}x + \frac{5}{9}$

(2) $a=2$, 極限値は $\frac{1}{4}$

(3) $a=6, b=3$

(4) $f'(1) = -8$

(5) $f''(x) = (2+4x^2)e^{x^2}$

(6) $e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2$