画像に写っている2つの極限を計算する問題です。 (7) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$ (8) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}$

1. 問題の内容

画像に写っている2つの極限を計算する問題です。

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$

(8) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}$

2. 解き方の手順

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$ について

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\sin x}{x})$

$-1 \leq \sin x \leq 1$ より、$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$です。

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ です。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1 + 0 = 1$

(8) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}$ について

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2x}$ (1回目のロピタルの定理)

これも不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2}$ (2回目のロピタルの定理)

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2} = \infty$

3. 最終的な答え

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = 1$

(8) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} = \infty$