関数 $F(x, y)$ に対して、偏微分の順序交換に関する以下の等式が成り立つことを、具体的な関数例を挙げて示す問題です。 $\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)$

1. 問題の内容

関数 $F(x, y)$ に対して、偏微分の順序交換に関する以下の等式が成り立つことを、具体的な関数例を挙げて示す問題です。

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)$

2. 解き方の手順

関数 $F(x, y)$ を具体的に与え、左辺と右辺をそれぞれ計算し、両者が一致することを示します。

例として、$F(x, y) = x^2 y^3$ を用います。

まず、$\frac{\partial F}{\partial x}$ を計算します。

$\frac{\partial F}{\partial x} = 2xy^3$

次に、$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)$ を計算します。

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (2xy^3) = 6xy^2$

次に、$\frac{\partial F}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial F}{\partial y} = 3x^2y^2$

最後に、$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)$ を計算します。

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2y^2) = 6xy^2$

よって、$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = 6xy^2 = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$F(x,y) = x^2y^3$ のとき、

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = 6xy^2 = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)$

となり、与えられた等式が成り立つことが示されました。