関数 $f(x) = e^{-x^2}$ の増減表を作成し、グラフの概形を描く問題です。増減表には、$y'$、$y''$ の符号、極大値、極小値、変曲点を記入し、グラフは $x \to \pm \infty$ における関数の振る舞いも考慮して描きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x^2}$ の増減表を作成し、グラフの概形を描く問題です。増減表には、$y'$、$y''$ の符号、極大値、極小値、変曲点を記入し、グラフは $x \to \pm \infty$ における関数の振る舞いも考慮して描きます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を計算します。

$f(x) = e^{-x^2}$

$f'(x) = -2xe^{-x^2}$

$f''(x) = (-2 + 4x^2)e^{-x^2}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-2xe^{-x^2} = 0$

$x = 0$

次に、$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$(-2 + 4x^2)e^{-x^2} = 0$

$-2 + 4x^2 = 0$

$4x^2 = 2$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

増減表を作成します。

| x | $-\infty$ | ... | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | ... | 0 | ... | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | ... | $+\infty$ |

| ----------- | -------- | -------- | --------------------- | ----- | ----- | ----- | -------------------- | -------- | -------- |

| f'(x) | | + | + | + | 0 | - | - | - | |

| f''(x) | | + | 0 | - | - | - | 0 | + | |

| f(x) | 0 | 増加 | $\frac{1}{\sqrt{e}}$ | 増加 | 1 | 減少 | $\frac{1}{\sqrt{e}}$ | 減少 | 0 |

| | | | 変曲 | | 極大 | | 変曲 | | |

$f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

$f(0) = e^{-0^2} = 1$

$x \to \pm \infty$ で $f(x) \to 0$ であることに注意して、グラフを描きます。

3. 最終的な答え

増減表とグラフは上記に示しました。