関数 $f(x)$ に対して、2次導関数と$n$次導関数を求める問題です。 (1) $f(x) = \sin x$ (2) $f(x) = x^2e^x$ ライプニッツの定理: $(fg)^{(n)} = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r f^{(n-r)}g^{(r)}$ を用いることが示唆されています。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ に対して、2次導関数と$n$次導関数を求める問題です。

(1) $f(x) = \sin x$

(2) $f(x) = x^2e^x$

ライプニッツの定理: $(fg)^{(n)} = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r f^{(n-r)}g^{(r)}$ を用いることが示唆されています。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x$ の場合

- 2次導関数を求める:

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

- n次導関数を求める:

$\sin x$ の導関数は周期的に $\sin x, \cos x, -\sin x, -\cos x$ と変化します。

よって、$f^{(n)}(x)$ は、$n$ を 4 で割った余りによって場合分けできます。

- $n \equiv 0 \pmod{4}$ のとき, $f^{(n)}(x) = \sin x$

- $n \equiv 1 \pmod{4}$ のとき, $f^{(n)}(x) = \cos x$

- $n \equiv 2 \pmod{4}$ のとき, $f^{(n)}(x) = -\sin x$

- $n \equiv 3 \pmod{4}$ のとき, $f^{(n)}(x) = -\cos x$

したがって、$f^{(n)}(x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$ と表すことができます。

(2) $f(x) = x^2 e^x$ の場合

- $f(x) = x^2$と$g(x) = e^x$と考えて、ライプニッツの定理を利用します。

- 2次導関数を求める:

$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = (x^2+2x)e^x$

$f''(x) = (2x+2)e^x + (x^2+2x)e^x = (x^2+4x+2)e^x$

- n次導関数を求める:

$f(x) = x^2$, $g(x) = e^x$ とすると、$g^{(r)}(x) = e^x$

また、

$f'(x) = 2x$

$f''(x) = 2$

$f^{(r)}(x) = 0$ ($r \ge 3$)

ライプニッツの定理より、

$(fg)^{(n)} = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r f^{(n-r)}g^{(r)}$

$(fg)^{(n)}(x) = {}_nC_0 f^{(n)}(x) g(x) + {}_nC_1 f^{(n-1)}(x) g'(x) + {}_nC_2 f^{(n-2)}(x) g''(x) + \dots$

$n \ge 3$ のとき、$f^{(n-r)}(x) = 0$ for $r < n-2$. したがって、和は3項で終わります。

$(fg)^{(n)}(x) = {}_nC_{n-2} f^{(2)}(x) g^{(n-2)}(x) + {}_nC_{n-1} f^{(1)}(x) g^{(n-1)}(x) + {}_nC_{n} f(x) g^{(n)}(x)$

$(fg)^{(n)}(x) = {}_nC_2 f''(x) e^x + {}_nC_1 f'(x) e^x + {}_nC_0 f(x) e^x$

$(fg)^{(n)}(x) = \frac{n(n-1)}{2} 2 e^x + n (2x) e^x + 1 (x^2) e^x$

$(fg)^{(n)}(x) = (n(n-1) + 2nx + x^2) e^x$

$(fg)^{(n)}(x) = (x^2 + 2nx + n^2 - n)e^x$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sin x$ の場合

- 2次導関数: $f''(x) = -\sin x$

- n次導関数: $f^{(n)}(x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

(2) $f(x) = x^2 e^x$ の場合

- 2次導関数: $f''(x) = (x^2+4x+2)e^x$

- n次導関数: $f^{(n)}(x) = (x^2 + 2nx + n^2 - n)e^x$