極限 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax + b}{x-3} = 2$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax + b}{x-3} = 2$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 3$ のとき、分母 $x-3$ が 0 に近づくので、極限が有限の値を持つためには、分子 $x^2 + ax + b$ も 0 に近づく必要があります。

したがって、

$3^2 + 3a + b = 0$

$9 + 3a + b = 0$

$b = -3a - 9$

これを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax - 3a - 9}{x-3} = 2$

分子を因数分解します。

$x^2 + ax - 3a - 9 = x^2 - 9 + a(x - 3) = (x-3)(x+3) + a(x-3) = (x-3)(x+3+a)$

よって、

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3+a)}{x-3} = 2$

$\lim_{x \to 3} (x+3+a) = 2$

$3 + 3 + a = 2$

$6 + a = 2$

$a = -4$

次に、$b$ の値を求めます。

$b = -3a - 9 = -3(-4) - 9 = 12 - 9 = 3$

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = 3$