$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + x + b}{x-1} = 3$ が成り立つように定数 $a, b$ を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + x + b}{x-1} = 3$ が成り立つように定数 $a, b$ を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限が存在するためには分子も $0$ に近づく必要があります。つまり、$x=1$ を代入すると $a(1)^2 + 1 + b = 0$ となる必要があります。

したがって、

$a + 1 + b = 0$

$b = -a - 1$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + x - a - 1}{x-1} = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(x^2 - 1) + (x - 1)}{x-1} = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(x - 1)(x + 1) + (x - 1)}{x-1} = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(a(x + 1) + 1)}{x-1} = 3$

$x \neq 1$ なので $x - 1$ で割って、

$\lim_{x \to 1} (a(x + 1) + 1) = 3$

$a(1 + 1) + 1 = 3$

$2a + 1 = 3$

$2a = 2$

$a = 1$

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -2$