$\lim_{x \to \infty} \log_3 (\sqrt{3x+1} - \sqrt{3x-1} + \frac{1}{2}\log_3 x)$を計算する。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \log_3 (\sqrt{3x+1} - \sqrt{3x-1} + \frac{1}{2}\log_3 x)$を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3x+1} - \sqrt{3x-1}$を簡略化します。

$\sqrt{3x+1} - \sqrt{3x-1} = \frac{(\sqrt{3x+1} - \sqrt{3x-1})(\sqrt{3x+1} + \sqrt{3x-1})}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{3x-1}} = \frac{(3x+1) - (3x-1)}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{3x-1}} = \frac{2}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{3x-1}}$

次に、$x \to \infty$としたとき、$\frac{2}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{3x-1}}$の極限を求めます。

$\frac{2}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{3x-1}} = \frac{2}{\sqrt{3x(1+1/3x)} + \sqrt{3x(1-1/3x)}} = \frac{2}{\sqrt{3x}(\sqrt{1+1/3x} + \sqrt{1-1/3x})}$

$x \to \infty$のとき、$1/3x \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{3x}(\sqrt{1+1/3x} + \sqrt{1-1/3x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{3x}(1+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{3x}} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_3 (\sqrt{3x+1} - \sqrt{3x-1} + \frac{1}{2}\log_3 x) = \lim_{x \to \infty} \log_3 (0 + \frac{1}{2}\log_3 x) = \lim_{x \to \infty} \log_3 (\frac{1}{2}\log_3 x)$

ここで、$y = \log_3 x$とすると、$x = 3^y$となり、$x \to \infty$のとき、$y \to \infty$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_3 (\frac{1}{2}\log_3 x) = \lim_{y \to \infty} \log_3 (\frac{1}{2}y)$

$z = \frac{1}{2}y$とすると、$y \to \infty$のとき、$z \to \infty$

$\lim_{y \to \infty} \log_3 (\frac{1}{2}y) = \lim_{z \to \infty} \log_3 z = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$