$r > 1$ を満たす実数 $r$ に対して、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{r^n}$ が収束することを示す問題において、Aさんの考え方が提示されています。その考え方の中に下線部①、②、③があり、それらの中に正しくないものが一つあります。その番号を答える問題です。

1. 問題の内容

$r > 1$ を満たす実数 $r$ に対して、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{r^n}$ が収束することを示す問題において、Aさんの考え方が提示されています。その考え方の中に下線部①、②、③があり、それらの中に正しくないものが一つあります。その番号を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、下線部①の内容を確認します。二項定理を用いると、$r = 1 + h$ とおいたとき、$r^n > \frac{n(n-1)}{2}h^2$ が $n \geq 2$ で示されるとあります。$r = 1 + h$ で $r > 1$ なので $h > 0$ です。二項定理より

$r^n = (1 + h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} h^k = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2} h^2 + \cdots + h^n$

であるので、

$r^n > \frac{n(n-1)}{2} h^2$

は成り立ちます。したがって、下線部①は正しいです。

次に、下線部②の内容を確認します。$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{r^n} = 0$ となるとあります。$r > 1$ であるので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{r^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{r^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{r^x \ln r} = 0$

となるので、下線部②は正しいです。

最後に、下線部③の内容を確認します。$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ のとき、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は収束するとあります。これは一般には正しくありません。例えば、$a_n = \frac{1}{n}$ とすると、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ですが、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散します。したがって、下線部③は正しくありません。

3. 最終的な答え

③