方程式 $F(x, y) = x + y - e^{xy} = 0$ が点 $(0, 1)$ の十分近くで陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、その点における接線を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $F(x, y) = x + y - e^{xy} = 0$ が点 $(0, 1)$ の十分近くで陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、その点における接線を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、陰関数の定理が適用できるかを確認します。

* $F(0, 1) = 0 + 1 - e^{0\cdot 1} = 1 - 1 = 0$。条件を満たしています。

* $F_y(x, y)$ を計算します。$F_y(x, y) = \frac{\partial F}{\partial y} = 1 - xe^{xy}$。

* $F_y(0, 1) = 1 - 0\cdot e^{0 \cdot 1} = 1 \neq 0$。したがって、陰関数の定理より、点 $(0, 1)$ の近くで $y = \varphi(x)$ という陰関数が存在します。

次に、接線を求めます。

* $\varphi'(x) = -\frac{F_x(x, y)}{F_y(x, y)}$ を使用します。

* $F_x(x, y)$ を計算します。$F_x(x, y) = \frac{\partial F}{\partial x} = 1 - ye^{xy}$。

* したがって、$\varphi'(0) = -\frac{F_x(0, 1)}{F_y(0, 1)}$ となります。

* $F_x(0, 1) = 1 - 1\cdot e^{0 \cdot 1} = 1 - 1 = 0$。

* よって、$\varphi'(0) = -\frac{0}{1} = 0$。

接線の方程式は $y - \varphi(0) = \varphi'(0)(x - 0)$ で与えられます。$\varphi(0) = 1$ なので、$y - 1 = 0(x - 0)$、つまり $y - 1 = 0$。

3. 最終的な答え

陰関数 $y = \varphi(x)$ は存在し、接線の方程式は $y = 1$ です。