$\tan \frac{\pi}{8}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \frac{\pi}{8}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

半角の公式を利用する。$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$ である。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ とすると、

$\tan^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{1+\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$= \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

$\tan \frac{\pi}{8} > 0$ であるから、

$\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 - 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 1$