定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \cos x) dx$ を計算してください。

## 問題 14

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \cos x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$ と $\cos x$ の積分をそれぞれ計算します。

$\int \sin x \, dx = -\cos x$

$\int \cos x \, dx = \sin x$

したがって、

$\int (\sin x + \cos x) \, dx = -\cos x + \sin x$

次に、積分範囲 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ で評価します。

$(-\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}) - (-\cos (-\frac{\pi}{4}) + \sin (-\frac{\pi}{4}))$

$= (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= 0 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$

## 問題 15

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (2x - 1)^2 dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$(2x - 1)^2$ を展開します。

$(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

次に、展開した式を積分します。

$\int (4x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x$

次に、積分範囲 $[0, 1]$ で評価します。

$(\frac{4}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 1) - (\frac{4}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 0)$

$= \frac{4}{3} - 2 + 1 - 0 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

## 問題 16

1. 問題の内容

不定積分 $\int x^3 e^{x^4} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

置換積分法を用います。

$u = x^4$ と置くと、$du = 4x^3 dx$ となります。

したがって、$x^3 dx = \frac{1}{4} du$ です。

$\int x^3 e^{x^4} dx = \int e^u \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C$

ここで、$u = x^4$ を代入すると、

$\frac{1}{4} e^{x^4} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}e^{x^4} + C$ (Cは積分定数)

## 問題 17

1. 問題の内容

不定積分 $\int e^x \sin x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分積分法を2回用います。

$I = \int e^x \sin x \, dx$ とします。

1回目の部分積分：

$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x \, dx$, $v = e^x$

$I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

2回目の部分積分：

$\int e^x \cos x \, dx$ に対して、$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x \, dx$, $v = e^x$

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I$

したがって、$I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)$

$I = e^x \sin x - e^x \cos x - I$

$2I = e^x (\sin x - \cos x)$

$I = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$ (Cは積分定数)