与えられた微分方程式を解きます。具体的には以下の5つの問題を解きます。 1. $y'' - 8y' + 25y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解きます。具体的には以下の5つの問題を解きます。

1. $y'' - 8y' + 25y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1$

2. $y'' - 7y' + 12y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1$

3. $y'' - 10y' + 25y = 0, y(0) = -1, y'(0) = -2$

4. $y'' + 4y = A\sin 2x$ (定数変化法を用いる)

5. $y'' - y = -30e^{2x}\sin 3x$ (未定係数法を用いる)

2. 解き方の手順

**

1. $y'' - 8y' + 25y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1$**

* 特性方程式を立てます。

$r^2 - 8r + 25 = 0$

* 特性方程式を解きます。

$r = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(25)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 100}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{8 \pm 6i}{2} = 4 \pm 3i$

* 一般解を求めます。

$y(x) = e^{4x}(c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x))$

* 初期条件 $y(0) = 2$ を適用します。

$y(0) = e^{4(0)}(c_1\cos(3(0)) + c_2\sin(3(0))) = 1(c_1(1) + c_2(0)) = c_1 = 2$

よって、$c_1 = 2$

* 一般解を微分します。

$y'(x) = 4e^{4x}(c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x)) + e^{4x}(-3c_1\sin(3x) + 3c_2\cos(3x))$

* 初期条件 $y'(0) = -1$ を適用します。

$y'(0) = 4e^{4(0)}(c_1\cos(3(0)) + c_2\sin(3(0))) + e^{4(0)}(-3c_1\sin(3(0)) + 3c_2\cos(3(0)))$

$= 4(1)(c_1(1) + c_2(0)) + 1(-3c_1(0) + 3c_2(1)) = 4c_1 + 3c_2 = -1$

$c_1 = 2$ を代入すると、$4(2) + 3c_2 = -1 \implies 8 + 3c_2 = -1 \implies 3c_2 = -9 \implies c_2 = -3$

* 特殊解を求めます。

$y(x) = e^{4x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))$

**

2. $y'' - 7y' + 12y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1$**

* 特性方程式を立てます。

$r^2 - 7r + 12 = 0$

* 特性方程式を解きます。

$(r-3)(r-4) = 0 \implies r = 3, 4$

* 一般解を求めます。

$y(x) = c_1e^{3x} + c_2e^{4x}$

* 初期条件 $y(0) = 1$ を適用します。

$y(0) = c_1e^{3(0)} + c_2e^{4(0)} = c_1 + c_2 = 1$

* 一般解を微分します。

$y'(x) = 3c_1e^{3x} + 4c_2e^{4x}$

* 初期条件 $y'(0) = 1$ を適用します。

$y'(0) = 3c_1e^{3(0)} + 4c_2e^{4(0)} = 3c_1 + 4c_2 = 1$

* 連立方程式を解きます。

$c_1 + c_2 = 1$

$3c_1 + 4c_2 = 1$

$c_1 = 1 - c_2$ を代入すると、$3(1 - c_2) + 4c_2 = 1 \implies 3 - 3c_2 + 4c_2 = 1 \implies c_2 = -2$

$c_1 = 1 - (-2) = 3$

* 特殊解を求めます。

$y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

**

3. $y'' - 10y' + 25y = 0, y(0) = -1, y'(0) = -2$**

* 特性方程式を立てます。

$r^2 - 10r + 25 = 0$

* 特性方程式を解きます。

$(r - 5)^2 = 0 \implies r = 5$ (重根)

* 一般解を求めます。

$y(x) = c_1e^{5x} + c_2xe^{5x}$

* 初期条件 $y(0) = -1$ を適用します。

$y(0) = c_1e^{5(0)} + c_2(0)e^{5(0)} = c_1 = -1$

* 一般解を微分します。

$y'(x) = 5c_1e^{5x} + c_2e^{5x} + 5c_2xe^{5x}$

* 初期条件 $y'(0) = -2$ を適用します。

$y'(0) = 5c_1e^{5(0)} + c_2e^{5(0)} + 5c_2(0)e^{5(0)} = 5c_1 + c_2 = -2$

$c_1 = -1$ を代入すると、$5(-1) + c_2 = -2 \implies -5 + c_2 = -2 \implies c_2 = 3$

* 特殊解を求めます。

$y(x) = -e^{5x} + 3xe^{5x}$

**

4. $y'' + 4y = A\sin 2x$ (定数変化法を用いる)**

* 同次方程式 $y'' + 4y = 0$ の特性方程式を立てます。

$r^2 + 4 = 0$

* 特性方程式を解きます。

$r = \pm 2i$

* 同次方程式の一般解を求めます。

$y_h(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x)$

* 定数変化法により、特殊解を $y_p(x) = u_1(x)\cos(2x) + u_2(x)\sin(2x)$ と仮定します。

* 以下の連立方程式を解きます。

$u_1'(x)\cos(2x) + u_2'(x)\sin(2x) = 0$

$-2u_1'(x)\sin(2x) + 2u_2'(x)\cos(2x) = A\sin(2x)$

* $u_1'(x) = -\frac{A\sin^2(2x)}{2}$

$u_2'(x) = \frac{A\sin(2x)\cos(2x)}{2}$

* $u_1(x) = \int -\frac{A\sin^2(2x)}{2} dx = -\frac{A}{2}\int \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = -\frac{A}{4}(x - \frac{\sin(4x)}{4})$

$u_2(x) = \int \frac{A\sin(2x)\cos(2x)}{2} dx = \frac{A}{2}\int \frac{\sin(4x)}{2} dx = -\frac{A}{8}\cos(4x)$

* 特殊解は、

$y_p(x) = -\frac{A}{4}(x - \frac{\sin(4x)}{4})\cos(2x) - \frac{A}{8}\cos(4x)\sin(2x)$

* 一般解は $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ より、

$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) -\frac{A}{4}(x\cos(2x) - \frac{\sin(4x)\cos(2x)}{4}) - \frac{A}{8}\cos(4x)\sin(2x)$

* $\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$、$\cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x)$を用いると、

$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{Ax}{4}\cos(2x) + \frac{A}{16}(2\sin(2x)\cos^2(2x)) - \frac{A}{8}\sin(2x)(\cos^2(2x) - \sin^2(2x))$

$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{Ax}{4}\cos(2x) + \frac{A}{8}\sin(2x)\cos^2(2x) - \frac{A}{8}\sin(2x)\cos^2(2x)+ \frac{A}{8}\sin^3(2x)$

$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{Ax}{4}\cos(2x) + \frac{A}{8}\sin^3(2x)$

$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{Ax}{4}\cos(2x)$　　

**

5. $y'' - y = -30e^{2x}\sin 3x$ (未定係数法を用いる)**

* 同次方程式 $y'' - y = 0$ の特性方程式を立てます。

$r^2 - 1 = 0$

* 特性方程式を解きます。

$r = \pm 1$

* 同次方程式の一般解を求めます。

$y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{-x}$

* 未定係数法により、特殊解を $y_p(x) = e^{2x}(A\cos(3x) + B\sin(3x))$ と仮定します。

* $y_p'(x) = 2e^{2x}(A\cos(3x) + B\sin(3x)) + e^{2x}(-3A\sin(3x) + 3B\cos(3x)) = e^{2x}((2A+3B)\cos(3x) + (2B-3A)\sin(3x))$

$y_p''(x) = 2e^{2x}((2A+3B)\cos(3x) + (2B-3A)\sin(3x)) + e^{2x}(-3(2A+3B)\sin(3x) + 3(2B-3A)\cos(3x))$

$= e^{2x}((4A+6B + 6B - 9A)\cos(3x) + (4B-6A-6A - 9B)\sin(3x))$

$= e^{2x}((-5A+12B)\cos(3x) + (-12A-5B)\sin(3x))$

* $y'' - y = -30e^{2x}\sin 3x$に代入します。

$e^{2x}((-5A+12B)\cos(3x) + (-12A-5B)\sin(3x)) - e^{2x}(A\cos(3x) + B\sin(3x)) = -30e^{2x}\sin 3x$

$(-6A+12B)\cos(3x) + (-12A-6B)\sin(3x) = -30\sin 3x$

* 係数を比較します。

$-6A + 12B = 0 \implies A = 2B$

$-12A - 6B = -30 \implies -12(2B) - 6B = -30 \implies -24B - 6B = -30 \implies -30B = -30 \implies B = 1$

$A = 2B = 2$

* 特殊解を求めます。

$y_p(x) = e^{2x}(2\cos(3x) + \sin(3x))$

* 一般解を求めます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} + e^{2x}(2\cos(3x) + \sin(3x))$

3. 最終的な答え

1. $y(x) = e^{4x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))$

2. $y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

3. $y(x) = -e^{5x} + 3xe^{5x}$

4. $y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{Ax}{4}\cos(2x)$

5. $y(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} + e^{2x}(2\cos(3x) + \sin(3x))$