無限級数 $f(x) = \frac{x}{1+|x|} + \frac{x}{(1+|x|)^2} + \dots + \frac{x}{(1+|x|)^n} + \dots$ の和を $f(x)$ とするとき、関数 $y=f(x)$ の連続性を調べ、そのグラフを描け。

1. 問題の内容

無限級数 $f(x) = \frac{x}{1+|x|} + \frac{x}{(1+|x|)^2} + \dots + \frac{x}{(1+|x|)^n} + \dots$ の和を $f(x)$ とするとき、関数 $y=f(x)$ の連続性を調べ、そのグラフを描け。

2. 解き方の手順

まず、無限級数の和 $f(x)$ を求める。これは初項 $a = \frac{x}{1+|x|}$、公比 $r = \frac{1}{1+|x|}$ の等比級数である。

等比級数が収束するのは $|r|<1$ のときなので、

$|\frac{1}{1+|x|}|<1$ が必要である。

これは常に成立する ($|x| \ge 0$ より $1+|x| \ge 1$ であり、$\frac{1}{1+|x|} \le 1$。ただし、$x=0$ のとき $\frac{1}{1+|x|} = 1$ であるため、$x=0$の場合は除く）。

よって、$x \neq 0$ のとき、$f(x)$ は収束し、その和は

$$f(x) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{x}{1+|x|}}{1 - \frac{1}{1+|x|}} = \frac{\frac{x}{1+|x|}}{\frac{1+|x|-1}{1+|x|}} = \frac{x}{|x|}$$

となる。

$x>0$ のとき、$|x| = x$ であるから、$f(x) = \frac{x}{x} = 1$

$x<0$ のとき、$|x| = -x$ であるから、$f(x) = \frac{x}{-x} = -1$

$x=0$ のとき、元の級数より全ての項が0となるため、$f(0)=0$。

したがって、$f(x)$ は

$$$$

f(x) = \begin{cases}

1 & (x > 0) \\

0 & (x = 0) \\

-1 & (x < 0)

\end{cases}

$$$$

となる。

次に、連続性を調べる。

$x=0$ において、

$\lim_{x \to +0} f(x) = 1$

$\lim_{x \to -0} f(x) = -1$

$f(0) = 0$

であるから、$x=0$ で不連続である。

最後に、グラフを描く。

$x>0$ で $f(x)=1$、 $x<0$ で $f(x)=-1$、 $x=0$ で $f(x)=0$ となるグラフを描けば良い。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は

$$$$

f(x) = \begin{cases}

1 & (x > 0) \\

0 & (x = 0) \\

-1 & (x < 0)

\end{cases}

$$$$

であり、$x=0$ で不連続である。

（グラフは省略。横軸をx、縦軸をyとして、x>0でy=1、x<0でy=-1、x=0でy=0の点を示す。）