以下の極限をロピタルの定理を用いて求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + x^2}{e^{x+1} + x^3}$

## 問題3.2 の (3) の解説

1. 問題の内容

以下の極限をロピタルの定理を用いて求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + x^2}{e^{x+1} + x^3}$

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(2e^x + x^2) = 2e^x + 2x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(e^{x+1} + x^3) = e^{x+1} + 3x^2 = e \cdot e^x + 3x^2$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + x^2}{e^{x+1} + x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2x}{e \cdot e^x + 3x^2}$

この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(2e^x + 2x) = 2e^x + 2$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(e \cdot e^x + 3x^2) = e \cdot e^x + 6x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2x}{e \cdot e^x + 3x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2}{e \cdot e^x + 6x}$

この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(2e^x + 2) = 2e^x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(e \cdot e^x + 6x) = e \cdot e^x + 6$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2}{e \cdot e^x + 6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{e \cdot e^x + 6}$

この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(2e^x) = 2e^x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(e \cdot e^x + 6) = e \cdot e^x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{e \cdot e^x + 6} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{e \cdot e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e} = \frac{2}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{e}$