次の極限を求めます。 $\lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $L$ とおきます。

$L = \lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

両辺の自然対数を取ります。

$\ln L = \ln \left( \lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x} \right)$

極限と対数の順序を交換します。

$\ln L = \lim_{x\to 0} \ln (1 + x + x^2)^{1/x}$

$\ln L = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + x + x^2)$

$\ln L = \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + x + x^2)}{x}$

$x \to 0$ のとき、$\ln(1+x+x^2) \to \ln(1) = 0$ および $x \to 0$ となるので、これは不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理を適用します。

$\ln L = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx} \ln (1 + x + x^2)}{\frac{d}{dx} x}$

$\ln L = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}}{1}$

$\ln L = \lim_{x\to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}$

$x \to 0$ のときの極限を計算します。

$\ln L = \frac{1 + 2(0)}{1 + 0 + (0)^2} = \frac{1}{1} = 1$

$\ln L = 1$ なので、$L = e^1 = e$ となります。

3. 最終的な答え

$e$