次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を用いることができます。なぜなら、$x \to 0$ のとき、$\tan^{-1} x \to 0$ であり、$x \to 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形となるからです。

ロピタルの定理を適用すると、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} (x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2}$

$x \to 0$ のとき、$1 + x^2 \to 1 + 0^2 = 1$ であるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = 1$