問題(9)は、極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x^2 + x}\right)^{x^2}$ を計算することです。 問題(10)は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ (ただし、$a, b > 0$) を計算することです。

1. 問題の内容

問題(9)は、極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x^2 + x}\right)^{x^2}$ を計算することです。

問題(10)は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ (ただし、$a, b > 0$) を計算することです。

2. 解き方の手順

問題(9)について

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x^2 + x}\right)^{x^2}$ を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1$ であることから、

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x^2 + x}\right)^{x^2} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x^2 + x}\right)^{(x^2+x) \cdot \frac{x^2}{x^2+x}} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{a}{x^2 + x}\right)^{x^2+x} \right]^{\frac{x^2}{x^2+x}} = e^a$

問題(10)について

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ を計算します。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln a - b^x \ln b}{1} = \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$

3. 最終的な答え

問題(9)の答え: $e^a$

問題(10)の答え: $\ln \frac{a}{b}$