$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1} t}{t}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1} t}{t}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、ロピタルの定理を使うのが有効です。

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形の極限で、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = 0$、または $\lim_{x \to a} |f(x)| = \infty$ かつ $\lim_{x \to a} |g(x)| = \infty$ である場合に、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

この問題では、$t \to 0$ のとき、$\sin^{-1} t \to 0$ かつ $t \to 0$ なので、ロピタルの定理が適用できます。

$f(t) = \sin^{-1} t$ と $g(t) = t$ とおくと、それぞれの導関数は次のようになります。

$f'(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$

$g'(t) = 1$

したがって、ロピタルの定理より

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1} t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$

$t \to 0$ のとき、$1 - t^2 \to 1$ なので、$\sqrt{1 - t^2} \to 1$ となります。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

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