与えられた微分方程式 $(2x^2 + 2xy)dx + (x^2 + 2y^2)dy = 0$ が完全微分方程式であることを確かめ、その解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $(2x^2 + 2xy)dx + (x^2 + 2y^2)dy = 0$ が完全微分方程式であることを確かめ、その解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式が完全微分方程式であるかどうかを確かめる。

$M(x, y) = 2x^2 + 2xy$ と $N(x, y) = x^2 + 2y^2$ とおく。

偏微分を計算する。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ が成り立つので、この微分方程式は完全微分方程式である。

次に、関数 $F(x, y)$ を求める。

$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y) = 2x^2 + 2xy$

$F(x, y) = \int (2x^2 + 2xy) dx = \frac{2}{3}x^3 + x^2y + g(y)$

ここで、$g(y)$ は $y$ の関数である。

次に、$\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$ を満たすように $g(y)$ を決定する。

$\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + g'(y) = x^2 + 2y^2$

$g'(y) = 2y^2$

$g(y) = \int 2y^2 dy = \frac{2}{3}y^3 + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

したがって、$F(x, y) = \frac{2}{3}x^3 + x^2y + \frac{2}{3}y^3 = K$ (Kは定数)

微分方程式の解は $F(x, y) = K$ で与えられる。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^3 + x^2y + \frac{2}{3}y^3 = C$

または、$2x^3 + 3x^2y + 2y^3 = C'$ （$C' = 3C$）