$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+10n+8} - 2\sqrt{n^2+2n+3} + \sqrt{n^2-4n+1})$ を求めます。

## 問題の解答

以下、問題の解答を記述します。

### (3) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+10n+8} - 2\sqrt{n^2+2n+3} + \sqrt{n^2-4n+1})$ を求めます。

2. 解き方の手順

各項を$n$で展開し、高次の項を無視します。

$\sqrt{n^2+10n+8} = n\sqrt{1+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}} \approx n(1+\frac{1}{2}(\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}) - \frac{1}{8}(\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2})^2+\dots) \approx n(1+\frac{5}{n} + O(\frac{1}{n^2})) = n+5+O(\frac{1}{n})$

$2\sqrt{n^2+2n+3} = 2n\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}} \approx 2n(1+\frac{1}{2}(\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}) - \frac{1}{8}(\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})^2+\dots) \approx 2n(1+\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^2})) = 2n+2+O(\frac{1}{n})$

$\sqrt{n^2-4n+1} = n\sqrt{1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}} \approx n(1+\frac{1}{2}(-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}) - \frac{1}{8}(-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2})^2+\dots) \approx n(1-\frac{2}{n} + O(\frac{1}{n^2})) = n-2+O(\frac{1}{n})$

したがって、

$\sqrt{n^2+10n+8} - 2\sqrt{n^2+2n+3} + \sqrt{n^2-4n+1} \approx (n+5) - (2n+2) + (n-2) = 1$

3. 最終的な答え

1

### (4) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}(\sqrt[3]{2n+1} - \sqrt[3]{2n})}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sqrt[3]{2n+1} - \sqrt[3]{2n} = \frac{(2n+1) - 2n}{\sqrt[3]{(2n+1)^2} + \sqrt[3]{2n+1}\sqrt[3]{2n} + \sqrt[3]{(2n)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(2n+1)^2} + \sqrt[3]{2n+1}\sqrt[3]{2n} + \sqrt[3]{(2n)^2}}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}(\sqrt[3]{2n+1} - \sqrt[3]{2n})} = \frac{\sqrt[3]{(2n+1)^2} + \sqrt[3]{2n+1}\sqrt[3]{2n} + \sqrt[3]{(2n)^2}}{\sqrt[3]{n^2}}$

$= \sqrt[3]{\frac{(2n+1)^2}{n^2}} + \sqrt[3]{\frac{(2n+1)(2n)}{n^2}} + \sqrt[3]{\frac{(2n)^2}{n^2}}$

$= \sqrt[3]{(2+\frac{1}{n})^2} + \sqrt[3]{(2+\frac{1}{n})2} + \sqrt[3]{4}$

$n \to \infty$のとき、$\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{4} = 3\sqrt[3]{4} = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt[3]{4}$

### (5) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{\lfloor \sqrt{3n^2+2n+2} \rfloor}{n+1}$ を求めます。ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。

2. 解き方の手順

$\sqrt{3n^2+2n+2} = \sqrt{n^2(3 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2})} = n\sqrt{3 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、 $\sqrt{3n^2+2n+2} \approx n\sqrt{3} = \sqrt{3} n$

$\frac{\lfloor \sqrt{3n^2+2n+2} \rfloor}{n+1} \approx \frac{\sqrt{3}n}{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{1+\frac{1}{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{\sqrt{3}}{1+\frac{1}{n}} \to \sqrt{3}$

より厳密には、 $\sqrt{3n^2+2n+2} = \sqrt{3}n\sqrt{1 + \frac{2}{3n} + \frac{2}{3n^2}}$.

$n$ が大きいとき $n\sqrt{3} - 1 < \lfloor \sqrt{3n^2+2n+2} \rfloor < \sqrt{3}n$. よって

$\frac{\sqrt{3}n - 1}{n+1} < \frac{\lfloor \sqrt{3n^2+2n+2} \rfloor}{n+1} < \frac{\sqrt{3}n}{n+1}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{3}n - 1}{n+1} = \sqrt{3}$ と $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{3}n}{n+1} = \sqrt{3}$ なので、はさみうちの原理より、$\lim_{n \to \infty} \frac{\lfloor \sqrt{3n^2+2n+2} \rfloor}{n+1} = \sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$

### (6) の解答

1. 問題の内容

$x_n = \frac{(-\frac{1}{2})^n + 2}{(-\frac{1}{2})^n - 1}$ とおくとき、 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 x_2 \dots x_n}{(-2)^n}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x_n = \frac{(-\frac{1}{2})^n + 2}{(-\frac{1}{2})^n - 1}$ であり、 $\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{2})^n = 0$ なので、 $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{0+2}{0-1} = -2$

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 x_2 \dots x_n}{(-2)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_1}{(-2)} \cdot \frac{x_2}{(-2)} \dots \frac{x_n}{(-2)}$

$\lim_{n \to \infty} x_n = -2$ より $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{-2} = 1$.

しかし、$n \to \infty$ の極限を考えるので、十分大きい$n$に対して、$x_n \approx -2$ なので、$\frac{x_n}{-2} \approx 1$ になります。

例えば $x_1 = \frac{-\frac{1}{2} + 2}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} = -1$. $x_2 = \frac{\frac{1}{4} + 2}{\frac{1}{4} - 1} = \frac{\frac{9}{4}}{-\frac{3}{4}} = -3$. $x_3 = \frac{-\frac{1}{8} + 2}{-\frac{1}{8} - 1} = \frac{\frac{15}{8}}{-\frac{9}{8}} = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.

$\frac{x_1 x_2 x_3}{(-2)^3} = \frac{(-1)(-3)(-\frac{5}{3})}{-8} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$

よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 x_2 \dots x_n}{(-2)^n} = 0$。

3. 最終的な答え

0

### (7) の解答

1. 問題の内容

$a$ が正の実数のとき、 $\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

場合分けをします。

(i) $0 < a < 1$ のとき、 $\lim_{n \to \infty} a^n = 0$ なので、 $\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}} = (1+0)^0 = 1$

(ii) $a = 1$ のとき、 $\lim_{n \to \infty} (1+1^n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{n}} = 1$

(iii) $a > 1$ のとき、 $(1+a^n)^{\frac{1}{n}} = (a^n(a^{-n}+1))^{\frac{1}{n}} = a(a^{-n}+1)^{\frac{1}{n}}$. $\lim_{n \to \infty} a^{-n} = 0$ なので、 $\lim_{n \to \infty} (a^{-n}+1)^{\frac{1}{n}} = 1$ より、 $\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}} = a$

3. 最終的な答え

$\begin{cases} 1 & (0<a\le 1) \\ a & (a > 1) \end{cases}$