与えられた微分方程式を解く問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。 1. $y'' - 8y' + 25y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。

1. $y'' - 8y' + 25y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1$

2. $y'' - 7y' + 12y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1$

3. $y'' - 10y' + 25y = 0, y(0) = -1, y'(0) = -2$

4. $y'' + 4y = A\sin 2x$ (定数変化法を用いる)

5. $y'' - y = -30e^{2x}\sin 3x$ (未定係数法を用いる)

2. 解き方の手順

**

1. $y'' - 8y' + 25y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1$**

* 特性方程式を立てます。

$r^2 - 8r + 25 = 0$

* 特性方程式の解を求めます。

$r = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 100}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{-36}}{2} = 4 \pm 3i$

* 一般解を求めます。

$y(x) = e^{4x}(c_1 \cos 3x + c_2 \sin 3x)$

* 初期条件を用いて、$c_1$と$c_2$を求めます。

$y(0) = c_1 = 2$

$y'(x) = 4e^{4x}(c_1 \cos 3x + c_2 \sin 3x) + e^{4x}(-3c_1 \sin 3x + 3c_2 \cos 3x)$

$y'(0) = 4c_1 + 3c_2 = -1$

$4(2) + 3c_2 = -1$

$3c_2 = -9$

$c_2 = -3$

* したがって、特殊解は

$y(x) = e^{4x}(2 \cos 3x - 3 \sin 3x)$

**

2. $y'' - 7y' + 12y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1$**

* 特性方程式を立てます。

$r^2 - 7r + 12 = 0$

* 特性方程式の解を求めます。

$(r - 3)(r - 4) = 0$

$r = 3, 4$

* 一般解を求めます。

$y(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{4x}$

* 初期条件を用いて、$c_1$と$c_2$を求めます。

$y(0) = c_1 + c_2 = 1$

$y'(x) = 3c_1 e^{3x} + 4c_2 e^{4x}$

$y'(0) = 3c_1 + 4c_2 = 1$

連立方程式を解きます。

$3c_1 + 3c_2 = 3$

$3c_1 + 4c_2 = 1$

$c_2 = -2$

$c_1 = 3$

* したがって、特殊解は

$y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

**

3. $y'' - 10y' + 25y = 0, y(0) = -1, y'(0) = -2$**

* 特性方程式を立てます。

$r^2 - 10r + 25 = 0$

* 特性方程式の解を求めます。

$(r - 5)^2 = 0$

$r = 5$ (重解)

* 一般解を求めます。

$y(x) = c_1 e^{5x} + c_2 x e^{5x}$

* 初期条件を用いて、$c_1$と$c_2$を求めます。

$y(0) = c_1 = -1$

$y'(x) = 5c_1 e^{5x} + c_2 e^{5x} + 5c_2 x e^{5x}$

$y'(0) = 5c_1 + c_2 = -2$

$5(-1) + c_2 = -2$

$c_2 = 3$

* したがって、特殊解は

$y(x) = -e^{5x} + 3x e^{5x}$

**

4. $y'' + 4y = A\sin 2x$ (定数変化法を用いる)**

* 同次方程式 $y'' + 4y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式: $r^2 + 4 = 0$

$r = \pm 2i$

$y_h(x) = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x$

* 定数変化法を用いて、特殊解を求めます。

$y_p(x) = u_1(x) \cos 2x + u_2(x) \sin 2x$

$u_1'(x) \cos 2x + u_2'(x) \sin 2x = 0$

$-2u_1'(x) \sin 2x + 2u_2'(x) \cos 2x = A \sin 2x$

連立方程式を解きます。

$u_1'(x) = -\frac{A}{2} \sin 2x \sin 2x = -\frac{A}{2} \sin^2 2x = -\frac{A}{4}(1 - \cos 4x)$

$u_2'(x) = \frac{A}{2} \sin 2x \cos 2x = \frac{A}{4} \sin 4x$

積分して、$u_1(x)$と$u_2(x)$を求めます。

$u_1(x) = -\frac{A}{4}(x - \frac{1}{4} \sin 4x)$

$u_2(x) = -\frac{A}{16} \cos 4x$

したがって、特殊解は

$y_p(x) = -\frac{A}{4}(x - \frac{1}{4} \sin 4x) \cos 2x -\frac{A}{16} \cos 4x \sin 2x = -\frac{Ax}{4} \cos 2x + \frac{A}{16} \sin 4x \cos 2x - \frac{A}{16} \cos 4x \sin 2x = -\frac{Ax}{4} \cos 2x + \frac{A}{16} \sin (4x-2x) = -\frac{Ax}{4} \cos 2x + \frac{A}{16} \sin 2x$

一般解は

$y(x) = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x -\frac{Ax}{4} \cos 2x$

**

5. $y'' - y = -30e^{2x}\sin 3x$ (未定係数法を用いる)**

* 同次方程式 $y'' - y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式: $r^2 - 1 = 0$

$r = \pm 1$

$y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$

* 未定係数法を用いて、特殊解を求めます。

$y_p(x) = e^{2x}(A \sin 3x + B \cos 3x)$

$y_p'(x) = e^{2x}(2A \sin 3x + 2B \cos 3x + 3A \cos 3x - 3B \sin 3x)$

$y_p''(x) = e^{2x}((4A - 9A - 12B)\sin 3x + (4B - 9B + 12A)\cos 3x + (12A - 12B)\sin 3x)$

$y_p''(x) = e^{2x}((-5A - 12B)\sin 3x + (12A - 5B)\cos 3x)$

$y_p''(x) - y_p(x) = e^{2x}((-5A - 12B - A)\sin 3x + (12A - 5B - B)\cos 3x)$

$y_p''(x) - y_p(x) = e^{2x}((-6A - 12B)\sin 3x + (12A - 6B)\cos 3x)$

係数を比較します。

$-6A - 12B = -30$

$12A - 6B = 0$

連立方程式を解きます。

$A = 5/2$

$B = 5$

したがって、特殊解は

$y_p(x) = e^{2x}( \frac{5}{2} \sin 3x + 5 \cos 3x )$

* 一般解は

$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + e^{2x}(\frac{5}{2} \sin 3x + 5 \cos 3x)$

3. 最終的な答え

1. $y(x) = e^{4x}(2 \cos 3x - 3 \sin 3x)$

2. $y(x) = 3e^{3x} - 2e^{4x}$

3. $y(x) = -e^{5x} + 3x e^{5x}$

4. $y(x) = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x -\frac{Ax}{4} \cos 2x$

5. $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + e^{2x}(\frac{5}{2} \sin 3x + 5 \cos 3x)$