2つの曲線 $y = x^2$ と $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = x^2$ と $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求める。

$x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 2$

$\frac{1}{2}x^2 = 2$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

したがって、交点のx座標は $x = -2$ と $x = 2$ である。

$x$ が区間 $[-2, 2]$ において、$y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ は $y = x^2$ より上にある。

したがって、面積 $S$ は次のように計算できる。

$S = \int_{-2}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + 2 - x^2) dx$

$S = \int_{-2}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 2) dx$

$S = [-\frac{1}{6}x^3 + 2x]_{-2}^{2}$

$S = (-\frac{1}{6}(2)^3 + 2(2)) - (-\frac{1}{6}(-2)^3 + 2(-2))$

$S = (-\frac{8}{6} + 4) - (\frac{8}{6} - 4)$

$S = -\frac{4}{3} + 4 - \frac{4}{3} + 4$

$S = 8 - \frac{8}{3}$

$S = \frac{24 - 8}{3}$

$S = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$