関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=1$ で極大値 5 をとり、$x=3$ で極小値 1 をとる。このとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=1$ で極大値 5 をとり、$x=3$ で極小値 1 をとる。このとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、極値の条件から、$f'(1) = 0$、$f'(3) = 0$ が成り立つ。また、$f(1) = 5$、$f(3) = 1$ が成り立つ。これらの条件から $a, b, c, d$ に関する連立方程式を立てて解く。

* $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ より、$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

* $f'(1) = 3a + 2b + c = 0$ ...(1)

* $f'(3) = 27a + 6b + c = 0$ ...(2)

* $f(1) = a + b + c + d = 5$ ...(3)

* $f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 1$ ...(4)

(2) - (1) より、

$24a + 4b = 0$

$6a + b = 0$

$b = -6a$ ...(5)

(5)を(1)に代入すると、

$3a + 2(-6a) + c = 0$

$3a - 12a + c = 0$

$c = 9a$ ...(6)

(5), (6) を (3) に代入すると、

$a + (-6a) + 9a + d = 5$

$4a + d = 5$

$d = 5 - 4a$ ...(7)

(5), (6), (7) を (4) に代入すると、

$27a + 9(-6a) + 3(9a) + (5 - 4a) = 1$

$27a - 54a + 27a + 5 - 4a = 1$

$-4a = -4$

$a = 1$

$a = 1$ を (5), (6), (7) に代入すると、

$b = -6(1) = -6$

$c = 9(1) = 9$

$d = 5 - 4(1) = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -6, c = 9, d = 1$