曲線 $y = x(x+2)^2$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x(x+2)^2$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x(x+2)^2$ と $x$軸との交点を求める。$y = 0$ とすると、

$x(x+2)^2 = 0$

$x = 0, -2$

したがって、交点は $(0, 0)$ と $(-2, 0)$ である。

求める面積 $S$ は定積分で表される。$x$ が $-2$ から $0$ まで変化するとき、$y$ は負の値をとるため、積分結果にマイナスを掛ける。

$S = - \int_{-2}^0 x(x+2)^2 dx$

$S = - \int_{-2}^0 x(x^2 + 4x + 4) dx$

$S = - \int_{-2}^0 (x^3 + 4x^2 + 4x) dx$

$S = - \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} \right]_{-2}^0$

$S = - \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + 2x^2 \right]_{-2}^0$

$S = - \left[ (0 + 0 + 0) - (\frac{(-2)^4}{4} + \frac{4(-2)^3}{3} + 2(-2)^2) \right]$

$S = - \left[ 0 - (\frac{16}{4} + \frac{4(-8)}{3} + 2(4)) \right]$

$S = - \left[ 0 - (4 - \frac{32}{3} + 8) \right]$

$S = - \left[ 0 - (12 - \frac{32}{3}) \right]$

$S = - \left[ - ( \frac{36}{3} - \frac{32}{3}) \right]$

$S = - \left[ - \frac{4}{3} \right]$

$S = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$