関数 $f(x) = -x^3 + 3x$ において、$x$ が $2$ から $a$ まで変化するときの平均変化率を求め、さらに $a$ を限りなく $2$ に近づけたときの平均変化率の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 3x$ において、$x$ が $2$ から $a$ まで変化するときの平均変化率を求め、さらに $a$ を限りなく $2$ に近づけたときの平均変化率の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平均変化率の定義に従って計算します。平均変化率は $\frac{f(a) - f(2)}{a - 2}$ で表されます。

$f(a) = -a^3 + 3a$

$f(2) = -2^3 + 3(2) = -8 + 6 = -2$

したがって、平均変化率は

$\frac{(-a^3 + 3a) - (-2)}{a - 2} = \frac{-a^3 + 3a + 2}{a - 2}$

分子を因数分解します。$a=2$ を代入すると $0$ になるので、分子は $(a-2)$ を因数に持ちます。

$-a^3 + 3a + 2 = -(a-2)(a^2 + 2a + 1) = -(a-2)(a+1)^2$

よって、平均変化率は

$\frac{-(a-2)(a+1)^2}{a-2} = -(a+1)^2$ (ただし、$a \neq 2$)

次に、$a$ を限りなく $2$ に近づけたときの平均変化率の値を求めます。

$\lim_{a \to 2} -(a+1)^2 = -(2+1)^2 = -3^2 = -9$

3. 最終的な答え

平均変化率は $-a^2 - 2a - 1$ であり、$a$ を限りなく $2$ に近づけると、この平均変化率の値は $-9$ に限りなく近づきます。

したがって、

ア：1, イ：2, ウ：1

エオ：9

最終解答：

平均変化率は $-a^2 - 2a - 1$ であり、$a$ を限りなく $2$ に近づけると、この平均変化率の値は $-9$ に限りなく近づきます。