与えられた関数$f(x)$について、定義されない$x$の値、または不連続となる$x$の値を求め、それらの点で関数値を再定義して、全ての$x$で連続になるようにする問題です。関数は以下の3つです。 (1) $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$ (2) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$ (3) $f(x) = [\cos x]$ （ガウス記号）

1. 問題の内容

与えられた関数$f(x)$について、定義されない$x$の値、または不連続となる$x$の値を求め、それらの点で関数値を再定義して、全ての$x$で連続になるようにする問題です。関数は以下の3つです。

(1) $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$

(2) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$

(3) $f(x) = [\cos x]$ （ガウス記号）

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$

まず、分母が0になる$x$を求めます。$x - 3 = 0$より、$x = 3$で定義されません。

次に、極限値を求めます。

$f(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3}$

$x \neq 3$のとき、$f(x) = x + 1$です。

$x = 3$での極限値は、

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 1) = 3 + 1 = 4$

したがって、$x = 3$で$f(x) = 4$と定義すれば、連続になります。

(2) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$

$x = 0$で分母が0になるため、定義されません。

$x > 0$のとき、$|x| = x$なので、$f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2$

$x < 0$のとき、$|x| = -x$なので、$f(x) = \frac{x^3}{-x} = -x^2$

$x = 0$での右極限は、$\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$

$x = 0$での左極限は、$\lim_{x \to 0^-} (-x^2) = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$

$x = 0$で$f(x) = 0$と定義すれば、連続になります。

(3) $f(x) = [\cos x]$ （ガウス記号）

ガウス記号は、その数を超えない最大の整数を表します。$\cos x$ は連続関数ですが、ガウス記号をつけることで、$\cos x = 1$となるとき、$x=2n\pi$ ($n$は整数)で、$\cos x$が1に近づくとき、右側極限と左側極限が異なります。

$\cos x = 1$となるのは、$x = 2n\pi$ ($n$は整数) のときです。

この点で不連続となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$で定義されない。$f(3) = 4$と定義すると連続になる。

(2) $x = 0$で定義されない。$f(0) = 0$と定義すると連続になる。

(3) $x = 2n\pi$ ($n$は整数) で不連続。