$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ の極限値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ の極限値を求める。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できる。

まず、分子と分母をそれぞれ微分する。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x}$

これはまだ $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用する。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2}$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$