与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 2}{x^3 - 1} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 2}{x^3 - 1}

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2. 解き方の手順

まず、分子と分母に $x = 1$ を代入してみます。

分子: $1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$

分母: $1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$

分母が0になるので、極限は $\pm \infty$になる可能性があります。

$x$ が1に近づくとき、分子は2に近づき、分母は0に近づきます。

分母 $x^3-1$ は $(x-1)(x^2+x+1)$と因数分解できます。

分子は $x=1$ のとき $1^2-1+2=2$ となり0にならないため、$x-1$を因数に持ちません。

$x \to 1$ のとき、$x^3-1$ の符号を調べます。$x$ が1より少し大きいとき、$x^3-1>0$ であり、$x$ が1より少し小さいとき、$x^3-1<0$ です。したがって、$x \to 1^+$ のとき、$\frac{x^2-x+2}{x^3-1} \to \frac{2}{0^+} \to +\infty$ であり、$x \to 1^-$ のとき、$\frac{x^2-x+2}{x^3-1} \to \frac{2}{0^-} \to -\infty$ です。

極限は $\pm \infty$ に発散するので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しません。