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与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^3 - 1}$$

解析学極限因数分解不定形
2025/6/5

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。
lim⁡x→1x2−3x+2x3−1\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^3 - 1}

2. 解き方の手順

xx が 11 に近づくとき、分子 x2−3x+2x^2 - 3x + 2 は 12−3(1)+2=01^2 - 3(1) + 2 = 0 に近づき、分母 x3−1x^3 - 1 は 13−1=01^3 - 1 = 0 に近づきます。これは不定形 00\frac{0}{0} であるため、因数分解をして約分することを試みます。
まず分子を因数分解します。
x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
次に分母を因数分解します。
x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1).
したがって、
x2−3x+2x3−1=(x−1)(x−2)(x−1)(x2+x+1)\frac{x^2 - 3x + 2}{x^3 - 1} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
x≠1x \neq 1 であれば、x−1x - 1 で約分できます。
x−2x2+x+1\frac{x - 2}{x^2 + x + 1}
したがって、極限は
lim⁡x→1x−2x2+x+1=1−212+1+1=−13\lim_{x \to 1} \frac{x - 2}{x^2 + x + 1} = \frac{1 - 2}{1^2 + 1 + 1} = \frac{-1}{3}

3. 最終的な答え

−13-\frac{1}{3}

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