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与えられた極限を計算します。問題は、 $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$ を計算することです。

解析学極限因数分解代入
2025/6/5

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は、
lim⁡x→1x2−3x+2x2−1\lim_{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{x^2-1}
を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。
分子は x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) と因数分解できます。
分母は x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1) と因数分解できます。
したがって、
x2−3x+2x2−1=(x−1)(x−2)(x−1)(x+1)\frac{x^2-3x+2}{x^2-1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}
x≠1x \ne 1のとき、x−1x-1で約分できます。
(x−1)(x−2)(x−1)(x+1)=x−2x+1\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1}
したがって、
lim⁡x→1x2−3x+2x2−1=lim⁡x→1x−2x+1\lim_{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{x^2-1} = \lim_{x\to 1} \frac{x-2}{x+1}
x=1x=1を代入すると、
1−21+1=−12\frac{1-2}{1+1} = \frac{-1}{2}

3. 最終的な答え

−12-\frac{1}{2}

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