与えられた定積分 $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解きます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

この問題では、$u = x$、$dv = \sin x \, dx$ とします。すると、

$du = dx$

$v = \int \sin x \, dx = -\cos x$

となります。

したがって、

$\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ x(-\cos x) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x) \, dx$

$= \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx$

$= \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} + \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi}$

$= (-\pi \cos \pi - (-0 \cos 0)) + (\sin \pi - \sin 0)$

$= (-\pi (-1) - 0) + (0 - 0)$

$= \pi + 0$

$= \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$