次の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1}$

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式に $x=1$ を代入してみます。

$\frac{1^2 - 1 + 2}{1^2 - 1} = \frac{2}{0}$

分母が0になるため、このままでは極限を求めることができません。

分子は0にならないため、極限は発散することが予想されます。$x$ が1に近づくとき、分母は0に近づき、分子は2に近づくため、分母の符号によって極限が正の無限大または負の無限大に発散するかどうかを調べます。

$x \to 1^+$ のとき、$x^2 - 1 > 0$ なので、 $\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1} \to \frac{2}{0^+} = +\infty$

$x \to 1^-$ のとき、$x^2 - 1 < 0$ なので、 $\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1} \to \frac{2}{0^-} = -\infty$

左右の極限が一致しないので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しません。