$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ であり、$sin \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $cos2\alpha$ (2) $sin2\alpha$

はい、承知いたしました。画像にある問題280と281について、それぞれ解説します。

**問題280**

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ であり、$sin \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $cos2\alpha$

(2) $sin2\alpha$

2. 解き方の手順

(1) $cos2\alpha$ を求める。

まず、$cos\alpha$ の値を求める。$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\alpha$ は第2象限の角なので、$cos\alpha < 0$ である。三角関数の相互関係 $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ より、

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

$cos^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{11}}{6})^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$

よって、$cos\alpha = -\sqrt{\frac{25}{36}} = -\frac{5}{6}$

次に、$cos2\alpha$ を求める。2倍角の公式 $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$ より、

$cos2\alpha = (-\frac{5}{6})^2 - (\frac{\sqrt{11}}{6})^2$

$cos2\alpha = \frac{25}{36} - \frac{11}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$

(2) $sin2\alpha$ を求める。

2倍角の公式 $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$ より、

$sin2\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} \cdot (-\frac{5}{6})$

$sin2\alpha = -\frac{10\sqrt{11}}{36} = -\frac{5\sqrt{11}}{18}$

3. 最終的な答え

(1) $cos2\alpha = \frac{7}{18}$

(2) $sin2\alpha = -\frac{5\sqrt{11}}{18}$

**問題281**

1. 問題の内容

半角の公式を用いて、$sin \frac{\pi}{12}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

半角の公式 $sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - cos\theta}{2}$ を用いる。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi/6}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{6}$ とすると、

$sin^2\frac{\pi}{12} = \frac{1 - cos\frac{\pi}{6}}{2}$

$cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$sin^2\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\frac{\pi}{12}$ は第1象限の角なので、$sin\frac{\pi}{12} > 0$。したがって、

$sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

さらに、二重根号を外す。

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

よって、

$sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$