与えられた式 $3 \tan \frac{3\pi}{8}$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $3 \tan \frac{3\pi}{8}$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式を使って$\tan \frac{3\pi}{8}$を計算します。

$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$という公式を使います。

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ とすると、$\frac{\theta}{2} = \frac{3\pi}{8}$ となります。

$\cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

したがって、

$\tan \frac{3\pi}{8} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1$

よって、

$3 \tan \frac{3\pi}{8} = 3 (\sqrt{2} + 1) = 3\sqrt{2} + 3$

3. 最終的な答え

$3 + 3\sqrt{2}$