定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} dx$ を、部分積分を2回用いて求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} dx$ を、部分積分を2回用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用います。

まず、$u = x^2$, $dv = \sin{x} dx$ とおきます。すると、$du = 2x dx$, $v = -\cos{x}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} dx = [-x^2 \cos{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos{x}) (2x) dx$

$= [-({\frac{\pi}{2}})^2 \cos{\frac{\pi}{2}} - (-0^2 \cos{0})] + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} dx$

$= 0 + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} dx$

次に、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} dx$ を部分積分で求めます。

$u = x$, $dv = \cos{x} dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \sin{x}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} dx = [x \sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} dx$

$= ({\frac{\pi}{2}} \sin{\frac{\pi}{2}} - 0 \sin{0}) - [-\cos{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{\pi}{2} - (-\cos{\frac{\pi}{2}} + \cos{0})$

$= \frac{\pi}{2} - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

したがって、

$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} dx = 2(\frac{\pi}{2} - 1) = \pi - 2$

3. 最終的な答え

$\pi - 2$