$\theta$ に関する三角不等式 $2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ に関する三角不等式 $2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を 2 で割ります。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{4}$

ここで、$t = \theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、不等式は $\sin t < \frac{1}{4}$ となります。

$\sin t = \frac{1}{4}$ となる $t$ の値を求めます。$t = \arcsin(\frac{1}{4})$ となる $t$ を $\alpha$ とおきます。

$\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$ とします。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi$ なので、$-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5}{3}\pi$ に注意します。

$\sin t < \frac{1}{4}$ となる $t$ の範囲は、$-\frac{\pi}{3} \le t < \alpha$ および $\pi - \alpha < t < \frac{5}{3}\pi$ となります。

$t = \theta - \frac{\pi}{3}$ を代入して、

$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < \alpha$ より $0 \le \theta < \alpha + \frac{\pi}{3}$

$\pi - \alpha < \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{5}{3}\pi$ より $\pi - \alpha + \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5}{3}\pi + \frac{\pi}{3}$ すなわち $\frac{4}{3}\pi - \alpha < \theta < 2\pi$

最終的に $\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$ とおくと、

$0 \le \theta < \arcsin(\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{3}$、$\frac{4}{3}\pi - \arcsin(\frac{1}{4}) < \theta < 2\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \arcsin(\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{3}$, $\frac{4}{3}\pi - \arcsin(\frac{1}{4}) < \theta < 2\pi$