次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-5}$ とおきます。

両辺に $(x-2)(x-5)$ を掛けると、

$1 = A(x-5) + B(x-2)$ となります。

$x=2$ を代入すると、

$1 = A(2-5) + B(2-2)$

$1 = -3A$

$A = -\frac{1}{3}$

$x=5$ を代入すると、

$1 = A(5-5) + B(5-2)$

$1 = 3B$

$B = \frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)}$ となります。

よって、

$\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx = \int \left( -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)} \right) dx$

$= -\frac{1}{3} \int \frac{1}{x-2} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-5} dx$

$= -\frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{3} \ln|x-5| + C$

$= \frac{1}{3} \left( \ln|x-5| - \ln|x-2| \right) + C$

$= \frac{1}{3} \ln \left| \frac{x-5}{x-2} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln \left| \frac{x-5}{x-2} \right| + C$