関数 $f(x) = xe^{-x}$ が極大となるときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x}$ が極大となるときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

極大値を求めるためには、まず関数の導関数を求め、それが0になる点を求めます。次に、その点における2次導関数の符号を調べ、負であれば極大値となります。

ステップ1: 導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

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f'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = \frac{d}{dx}(x)e^{-x} + x\frac{d}{dx}(e^{-x}) = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)

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ステップ2: $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x}$ は常に正であるため、$1-x=0$ となる必要があります。

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1 - x = 0 \\

x = 1

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ステップ3: 2次導関数 $f''(x)$ を求めます。

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f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) = \frac{d}{dx}(e^{-x}(1-x)) = \frac{d}{dx}(e^{-x})(1-x) + e^{-x}\frac{d}{dx}(1-x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = -e^{-x} + xe^{-x} - e^{-x} = e^{-x}(x-2)

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ステップ4: $x=1$ における $f''(x)$ の符号を調べます。

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f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1}

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$f''(1) < 0$ なので、$x=1$ で極大となります。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = xe^{-x}$ が極大となるときの $x$ の値は $1$ です。