以下の不定積分を計算する。 $\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算する。

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、積分を書き換える。

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

次に、分母と分子を分離する。

$\int \frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = \int \frac{2 - \sin^2 x - 1}{2 - \sin^2 x} dx = \int (1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x}) dx$

$= \int 1 dx - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx = x - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$

次に、$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$ を計算する。

分子と分母を $\cos^2 x$ で割る。

$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{2}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2\sec^2 x - \tan^2 x} dx$

ここで $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ なので

$= \int \frac{\sec^2 x}{2(1 + \tan^2 x) - \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx$

ここで、$u = \tan x$ と置換すると、 $du = \sec^2 x dx$ となるので

$\int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{1}{2 + u^2} du = \int \frac{1}{ (\sqrt{2})^2 + u^2} du$

これは $\frac{1}{a^2 + x^2}$ の積分なので、$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ より

$\int \frac{1}{(\sqrt{2})^2 + u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{u}{\sqrt{2}}) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}) + C$

したがって、

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}) + C$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$