定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分を求めます。これはarctan関数として知られています。

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の基本定理を用いて、定積分を計算します。

$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\sqrt{3})$

$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

よって、

$\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$