関数 $f(x) = xe^{-x}$ の極大値とその時の $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x}$ の極大値とその時の $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

* まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで、$u = x$、$v = e^{-x}$ とすると、$u' = 1$、$v' = -e^{-x}$ となります。

したがって、

$$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$$

* 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x}$ は常に正なので、$1-x=0$ となる $x$ を求めれば良いです。

$$1-x = 0$$

$$x = 1$$

$x = 1$ は極値の候補となる点です。

* $x = 1$ が実際に極大値を与えることを確認するために、$f'(x)$ の符号の変化を調べます。

* $x < 1$ のとき、$1-x > 0$ なので、$f'(x) > 0$ となり、$f(x)$ は増加します。

* $x > 1$ のとき、$1-x < 0$ なので、$f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ は減少します。

したがって、$x=1$ で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるため、$x=1$ は極大値を与える点です。

* 最後に、$f(1)$ を計算して極大値を求めます。

$$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = xe^{-x}$ は、$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとります。