以下の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x^2)}{\log(1+x)}$ (2) $\lim_{x \to +0} \sqrt{x} \log x$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x^2)}{\log(1+x)}$

(2) $\lim_{x \to +0} \sqrt{x} \log x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x^2)}{\log(1+x)}$

$x$ が無限大に近づくとき、$1+x^2 \approx x^2$、$1+x \approx x$ と近似できます。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x^2)}{\log(1+x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x^2)}{\log(x)}$

対数の性質 $\log(a^b) = b \log(a)$ を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2\log(x)}{\log(x)} = 2$

(2) $\lim_{x \to +0} \sqrt{x} \log x$

この極限は不定形 $0 \cdot (-\infty)$ の形をしています。そこで、$y = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $y \to \infty$ となり、

$\lim_{x \to +0} \sqrt{x} \log x = \lim_{y \to \infty} \frac{1}{\sqrt{y}} \log \left( \frac{1}{y} \right) = \lim_{y \to \infty} \frac{-\log y}{\sqrt{y}}$

ここで、$\lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{\sqrt{y}}$ を計算します。これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{\sqrt{y}} = \lim_{y \to \infty} \frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{2\sqrt{y}}} = \lim_{y \to \infty} \frac{2\sqrt{y}}{y} = \lim_{y \to \infty} \frac{2}{\sqrt{y}} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \sqrt{x} \log x = \lim_{y \to \infty} \frac{-\log y}{\sqrt{y}} = - \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{\sqrt{y}} = -0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x^2)}{\log(1+x)} = 2$

(2) $\lim_{x \to +0} \sqrt{x} \log x = 0$