問題は以下の2つの数列について、有界で単調増加であることを示し、極限を求める問題です。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの数列について、有界で単調増加であることを示し、極限を求める問題です。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$

(i) 単調増加性を示す

数学的帰納法で$a_n < a_{n+1}$を示す。

n=1のとき、$a_1=1, a_2 = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$より、$a_1 < a_2$が成立。

n=kのとき、$a_k < a_{k+1}$と仮定すると、$a_k+1 < a_{k+1}+1$より、$\sqrt{a_k+1} < \sqrt{a_{k+1}+1}$。

すなわち、$a_{k+1} < a_{k+2}$が成立。

よって、すべての自然数nに対して、$a_n < a_{n+1}$が成り立つ。

(ii) 有界性を示す

$a_n < L$と仮定して、$L$を求める。

$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$において、$n \to \infty$とすると、$L = \sqrt{L+1}$。

$L^2 = L+1$より、$L^2 - L - 1 = 0$。

これを解くと、$L = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。

$L > 0$より、$L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。

ここで、$a_1 = 1 < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$である。

$a_n < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$を仮定すると、$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1} < \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{4}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

よって、すべてのnに対して、$a_n < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$が成り立つ。

(iii) 極限を求める

極限は$L = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

(i) 単調増加性を示す

$a_{n+1} - a_n = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3} - a_n = \frac{3a_n + 4 - 2a_n^2 - 3a_n}{2a_n + 3} = \frac{4 - 2a_n^2}{2a_n + 3} = \frac{2(2 - a_n^2)}{2a_n + 3}$。

$a_1 = 1 < \sqrt{2}$である。もしすべての$n$について$a_n < \sqrt{2}$が成り立つならば、$a_{n+1} - a_n > 0$が言える。

$a_n < \sqrt{2}$を仮定すると、$a_{n+1} = \frac{3a_n+4}{2a_n+3} < \sqrt{2} \Leftrightarrow 3a_n + 4 < \sqrt{2}(2a_n + 3) \Leftrightarrow (3-2\sqrt{2})a_n < 3\sqrt{2} - 4 \Leftrightarrow a_n < \frac{3\sqrt{2} - 4}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{2} - 4)(3+2\sqrt{2})}{9-8} = 9\sqrt{2} + 12 - 12 - 8\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

よって、すべてのnに対して、$a_n < \sqrt{2}$。

したがって、$a_{n+1} > a_n$。

(ii) 有界性を示す

$a_n < \sqrt{2}$はすでに示した。

(iii) 極限を求める

$a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$において、$n \to \infty$とすると、$L = \frac{3L + 4}{2L + 3}$。

$2L^2 + 3L = 3L + 4$より、$2L^2 = 4$。

$L^2 = 2$より、$L = \pm \sqrt{2}$。

$L > 0$より、$L = \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 極限: $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) 極限: $\sqrt{2}$