与えられた極限値を求める問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{-x} - e^x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{-x} - e^x}

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2. 解き方の手順

この極限は、$x \to 0$ のとき、$x \to 0$ かつ $e^{-x} - e^x \to e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0$ となる $\frac{0}{0}$ の不定形です。

そこで、ロピタルの定理を適用することができます。分子と分母をそれぞれ $x$ で微分します。

分子の微分:

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\frac{d}{dx}(x) = 1

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分母の微分:

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\frac{d}{dx}(e^{-x} - e^x) = -e^{-x} - e^x

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したがって、ロピタルの定理を用いると、

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\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{-x} - e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-e^{-x} - e^x}

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$x \to 0$ のとき、$e^{-x} \to e^0 = 1$ かつ $e^x \to e^0 = 1$ なので、

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\lim_{x \to 0} \frac{1}{-e^{-x} - e^x} = \frac{1}{-1 - 1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

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-\frac{1}{2}

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