与えられた7つの関数を微分する問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた7つの関数を微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = (5x+4)^{10}$

合成関数の微分公式を使います。$u = 5x+4$ とおくと、$y = u^{10}$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 10u^9 \cdot 5 = 50(5x+4)^9$

(2) $y = e^x + x^e + \pi^x + x^{\pi}$

各項ごとに微分します。

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

$\frac{d}{dx}(x^e) = ex^{e-1}$

$\frac{d}{dx}(\pi^x) = \pi^x \ln(\pi)$

$\frac{d}{dx}(x^\pi) = \pi x^{\pi - 1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^x + ex^{e-1} + \pi^x \ln(\pi) + \pi x^{\pi - 1}$

(3) $y = \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{x^2}$

各項ごとに微分します。

$y = x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{3}} + x^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} - 2x^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} - \frac{2}{x^3}$

(4) $y = e^{-x^2}$

合成関数の微分公式を使います。$u = -x^2$ とおくと、$y = e^u$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

(5) $y = \ln|\cos x|$

合成関数の微分公式を使います。$u = \cos x$ とおくと、$y = \ln|u|$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (-\sin x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$

(6) $y = e^{-4x}\sin(5x)$

積の微分公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = (e^{-4x})' \sin(5x) + e^{-4x}(\sin(5x))' = -4e^{-4x}\sin(5x) + e^{-4x}(5\cos(5x)) = -4e^{-4x}\sin(5x) + 5e^{-4x}\cos(5x) = e^{-4x}(5\cos(5x)-4\sin(5x))$

(7) $y = \frac{1}{\tan(2x)} = \cot(2x)$

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = -\csc^2(2x) \cdot 2 = -2\csc^2(2x) = \frac{-2}{\sin^2(2x)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 50(5x+4)^9$

(2) $\frac{dy}{dx} = e^x + ex^{e-1} + \pi^x \ln(\pi) + \pi x^{\pi - 1}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} - \frac{2}{x^3}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = -\tan x$

(6) $\frac{dy}{dx} = e^{-4x}(5\cos(5x)-4\sin(5x))$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{\sin^2(2x)}$