$\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx = \int \left(1 + \frac{2x}{x^2+3} - \frac{1}{x^2+3}\right) dx$

## 問題(4)の内容

不定積分 $\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx$ を計算します。画像の計算過程から、被積分関数は $1 + \frac{2x}{x^2+3} - \frac{1}{x^2+3}$ と変形できることがわかります。

## 解き方の手順

1. 被積分関数を分解して、それぞれの項を積分します。

$\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx = \int \left(1 + \frac{2x}{x^2+3} - \frac{1}{x^2+3}\right) dx$

2. 各項ごとに積分します。

$\int 1 dx = x$

$\int \frac{2x}{x^2 + 3} dx$ については、$u = x^2 + 3$ と置換すると $du = 2x dx$ より、

$\int \frac{2x}{x^2 + 3} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln (x^2 + 3) + C$

( $x^2 + 3 > 0$ なので絶対値を外せます。)

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx$ については、$x = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$ より、

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \tan^2 \theta + 3} d\theta = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \sec^2 \theta} d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \int d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$

3. 全ての項を足し合わせます。

$\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx = x + \ln (x^2 + 3) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$

## 最終的な答え

$\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx = x + \ln (x^2 + 3) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$

## 問題(5)の内容

不定積分 $\int \frac{dx}{\cosh x}$ を計算します。与えられたヒントは $e^x = t$ と置くことです。

## 解き方の手順

1. $\cosh x$ の定義を思い出します。 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

2. $\int \frac{dx}{\cosh x} = \int \frac{2}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{2 e^x}{e^{2x} + 1} dx$

3. $e^x = t$ と置換すると、$dx = \frac{dt}{t}$ より、

$\int \frac{2 e^x}{e^{2x} + 1} dx = \int \frac{2 t}{t^2 + 1} \cdot \frac{1}{t} dt = 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} dt = 2 \arctan t + C = 2 \arctan (e^x) + C$

## 最終的な答え

$\int \frac{dx}{\cosh x} = 2 \arctan (e^x) + C$