問題は定積分 $\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は定積分 $\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。

この問題の場合、$a^2 = 16$ なので、$a = 4$ となります。

したがって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \arcsin(\frac{x}{4}) + C$

定積分を計算すると、

$\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \left[ \arcsin(\frac{x}{4}) \right]_{2}^{2\sqrt{3}}$

$= \arcsin(\frac{2\sqrt{3}}{4}) - \arcsin(\frac{2}{4})$

$= \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin(\frac{1}{2})$

$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$

$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$

したがって、

$\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$