与えられた不定積分の被積分関数 $\frac{1}{(x-2)(x-5)}$ を部分分数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた不定積分の被積分関数 $\frac{1}{(x-2)(x-5)}$ を部分分数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-2)(x-5)}$を、ある定数$A, B$を用いて$\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-5}$と表せることを仮定します。

つまり、

$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-5}$

両辺に $(x-2)(x-5)$ を掛けると、

$1 = A(x-5) + B(x-2)$

この式が任意の $x$ に対して成り立つように $A$ と $B$ を決定します。

$x = 2$ を代入すると、

$1 = A(2-5) + B(2-2)$

$1 = -3A$

$A = -\frac{1}{3}$

$x = 5$ を代入すると、

$1 = A(5-5) + B(5-2)$

$1 = 3B$

$B = \frac{1}{3}$

したがって、部分分数分解は次のようになります。

$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)}$