与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n

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2. 解き方の手順

与えられた極限を計算するために、自然対数を利用します。まず、与えられた式を $y$ とおきます。

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y = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n

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両辺の自然対数をとると、

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\ln y = \lim_{n \to \infty} n \ln \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)

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ここで、$\ln(1+x)$ のテイラー展開を $x=0$ の周りで考えると、$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ です。したがって、$x = -\frac{1}{n^2}$ を代入すると、

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\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right) = -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \cdots

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これを $\ln y$ の式に代入すると、

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\ln y = \lim_{n \to \infty} n \left(-\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \cdots \right)

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\ln y = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^3} - \frac{1}{3n^5} - \cdots \right)

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$n \to \infty$ のとき、各項は 0 に収束するので、

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\ln y = 0

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したがって、$y = e^0 = 1$ となります。

3. 最終的な答え

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\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n = 1

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